Ebenen in der Vektorrechnung
Parameterform
Die Parameterform einer Ebene wird durch einen Stützvektor und zwei Richtungsvektoren definiert:
``` E: r = a + s * v + t * w ``` * r: Ortsvektor eines Punktes auf der Ebene * a: Stützvektor * v, w: RichtungsvektorenKoordinatengleichung
Die Koordinatengleichung einer Ebene im dreidimensionalen Raum lautet:
``` ax + by + cz + d = 0 ``` * (a, b, c): Normalenvektor der Ebene * d: Abstand der Ebene vom UrsprungAbleitung der Koordinatengleichung
Sei E eine Ebene mit Normalenvektor (a, b, c) und Abstand d vom Ursprung. Dann gilt für jeden Punkt P(x, y, z) auf E:
``` a * x + b * y + c * z = d ``` Denn der Abstand zwischen P und der Ebene ist gleich |(a * x + b * y + c * z - d) / sqrt(a^2 + b^2 + c^2)|. Da P auf E liegt, ist dieser Abstand gleich null, was zu obiger Gleichung führt.Schlussfolgerung
Die Parameterform und die Koordinatengleichung sind zwei wichtige Darstellungen von Ebenen in der Vektorrechnung. Sie finden Anwendung in verschiedenen Bereichen wie Geometrie, Physik und Ingenieurwesen.
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